¿Cómo saber si se ha descubierto una partícula? (Apéndice 4.1)

Cálculo de la masa invariante de una partícula que se desintegra en otras dos según

$\mathfrak{\mathscr{\mathsf{X\rightarrow A+B}}}$

Afortunadamente la energía y el momento lineal (y también la carga eléctrica) se conservan, así que debe cumplir

$\mathfrak{\mathscr{\mathsf{\vec{p}_{X}=\vec{p}_{A}+\vec{p}_{B}}}}$ [1]

$\mathfrak{\mathscr{\mathsf{E_{X}=E_{A}+E_{B}}}}$ [2]

(y también $\mathfrak{\mathscr{\mathsf{Q_{X}=Q_{A}+Q_{B}}}}$ , lo que nos dice que si X es una partícula neutra, A y B deben tener cargas opuestas)

Las trayectorias de A y B se curvan en sentidos opuestos en un campo magnético perpendicular a la página

Pero en mecánica relativista, la relación entre energía y momento NO es $\mathfrak{\mathscr{\mathsf{E=\vec{p}}^{\mathsf{2}}\mathsf{/2m}}}$ [nuestra amiga la energía cinética de una partícula libre disfrazada, $\mathfrak{\mathscr{\mathsf{E=mv}^{\mathsf{2}}\mathsf{/2}}}$ ] sino más bien

$\mathsf{E=\left(\vec{p}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)^{\frac{1}{2}}}$ (*)

Ahora vamos a despejar la masa (invariante) de X, que es lo que andamos buscando:

$\mathsf{E_{X}^{2}=\vec{p}_{X}^{2}c^{2}+M_{X}^{2}c^{4}}$

$\mathsf{M_{X}=\frac{1}{c^{2}}\left(E_{X}^{2}-\vec{p}_{X}^{2}c^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$

y si ahora sustituimos [1] y [2] llegamos finalmente a la expresión que nos da $\mathsf{M_{X}}$ en función de las energías y momentos de las partículas detectadas, A y B:

$\mathsf{M_{X}=\frac{1}{c^{2}}\left[\left(E_{A}+E_{B}\right)^{2}-c^{2}\left(\vec{p}_{A}+\vec{p}_{B}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}}$

Que quedaría más bonito eligiendo las unidades de modo que c = 1, como hacen los físicos de partículas ( si no, si medimos la energía en GeV, la masa se mediría en GeV/c^2 y el momento en GeV/c). De todos modos, no hay que preocuparse pues ahora que lo entendemos, los números los hace esta hoja de cálculo.

(*) Para que se nos haga un poco menos raro, podemos desarrollar la expresión en serie de potencias de (v/c), es decir, la velocidad relativa a la de la luz en el vacío, c, y entonces queda para la energía de una partícula libre:

$\mathsf{\mathsf{E=mc^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}+O\left(\frac{v}{c}\right)^{4}}}$ .

Es decir, la energía en reposo $\mathsf{\mathsf{mc^{2}}}$ , así llamada porque no depende del estado de movimiento, más la energía en reposo no relativista, $\mathfrak{\mathscr{\mathsf{E=mv}^{\mathsf{2}}\mathsf{/2}}}$ [o $\mathfrak{\mathscr{\mathsf{E=\vec{p}}^{\mathsf{2}}\mathsf{/2m}}}$ ] más las correciones relativistas, de orden $\mathsf{\mathsf{\left(\frac{v}{c}\right)^{4}}}$ , que sólo son importantes si $\mathsf{v\sim c}$ .

¿Y cómo se mide el momento de las partículas en un detector?

Para eso están los imanes… tal como se explica en una nota al final de la parte 5.

This entry was posted on 20 mayo, 2011 at 01:09 and is filed under La física de partículas simplificada. Puedes seguir las respuestas de esta entrada a través de sindicación RSS 2.0. Puedes dejar una respuesta, o trackback desde tu propio sitio.

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