¿Cómo saber si se ha descubierto una partícula? (Apéndice 4.1)

Cálculo de la masa invariante de una partícula que se desintegra en otras dos según

\mathfrak{\mathscr{\mathsf{X\rightarrow A+B}}}

Afortunadamente la energía y el momento lineal (y también la carga eléctrica) se conservan, así que debe cumplir

\mathfrak{\mathscr{\mathsf{\vec{p}_{X}=\vec{p}_{A}+\vec{p}_{B}}}}    [1]

\mathfrak{\mathscr{\mathsf{E_{X}=E_{A}+E_{B}}}}    [2]

(y también \mathfrak{\mathscr{\mathsf{Q_{X}=Q_{A}+Q_{B}}}}, lo que nos dice que si X es una partícula neutra, A y B deben tener cargas opuestas)

Las trayectorias de A y B se curvan en sentidos opuestos en un campo magnético perpendicular a la página

Pero en mecánica relativista, la relación entre energía y momento NO es \mathfrak{\mathscr{\mathsf{E=\vec{p}}^{\mathsf{2}}\mathsf{/2m}}} [nuestra amiga la energía cinética de una partícula libre disfrazada, \mathfrak{\mathscr{\mathsf{E=mv}^{\mathsf{2}}\mathsf{/2}}}] sino más bien

\mathsf{E=\left(\vec{p}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)^{\frac{1}{2}}}  (*)

Ahora vamos a despejar la masa (invariante) de X, que es lo que andamos buscando:

\mathsf{E_{X}^{2}=\vec{p}_{X}^{2}c^{2}+M_{X}^{2}c^{4}}

\mathsf{M_{X}=\frac{1}{c^{2}}\left(E_{X}^{2}-\vec{p}_{X}^{2}c^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}

y si ahora sustituimos [1] y [2] llegamos finalmente a la expresión que nos da \mathsf{M_{X}} en función de las energías y momentos de las partículas detectadas, A y B:

\mathsf{M_{X}=\frac{1}{c^{2}}\left[\left(E_{A}+E_{B}\right)^{2}-c^{2}\left(\vec{p}_{A}+\vec{p}_{B}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}}

Que quedaría más bonito eligiendo las unidades de modo que c = 1, como hacen los físicos de partículas ( si no,  si medimos la energía en GeV, la masa se mediría en GeV/c^2 y el momento en GeV/c). De todos modos, no hay que preocuparse pues ahora que lo entendemos, los números los hace esta hoja de cálculo.

(*) Para que se nos haga un poco menos raro, podemos desarrollar la expresión en serie de potencias de (v/c), es decir, la velocidad relativa a la de la luz en el vacío, c, y entonces queda para la energía de una partícula libre:

\mathsf{\mathsf{E=mc^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}+O\left(\frac{v}{c}\right)^{4}}}.

Es decir, la energía en reposo \mathsf{\mathsf{mc^{2}}}, así llamada porque no depende del estado de movimiento, más la energía en reposo no relativista, \mathfrak{\mathscr{\mathsf{E=mv}^{\mathsf{2}}\mathsf{/2}}} [o \mathfrak{\mathscr{\mathsf{E=\vec{p}}^{\mathsf{2}}\mathsf{/2m}}} ] más las correciones relativistas, de orden \mathsf{\mathsf{\left(\frac{v}{c}\right)^{4}}}, que sólo son importantes si \mathsf{v\sim c}.

¿Y cómo se mide el momento de las partículas en un detector?

Para eso están los imanes… tal como se explica en una nota al final de la parte 5.

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